LaTeX

前言

若使用 LaTeX 编译器编写 LaTeX 数学公式，需要在导言区引用数学公式的宏包，代码为\usepackage{amsmath}；若要修改公式的字体，还需要引用宏包\usepackage{amsfonts}。

若使用 Markdown 编写 LaTeX 数学公式，CSDN 支持 LaTeX 数学公式，但有些本地编辑器可能不支持 LaTeX 数学公式，Typroa 可以更改设置支持，VS Code 可以通过安装扩展的方式支持。

本篇博客内容包含前言，注意事项，插入公式，注释，编号，转义字符，换行与对齐，字体，空格，上下标，括号，大括号和行标，分式，开方，对数，省略号，最值，方程组和分段函数，累加和累乘，矢量，积分，极限，导数与偏导，矩阵，表格，希腊字母，运算符，黑板粗体（空心字母），戴帽符号，特殊符号，等等。

官方文档（英文）：
传送门：官方文档
网址：http://www.ctex.org/documents/packages/math/index.htm
中文文档：
传送门：中文教程
网址：https://www.latexlive.com/help
技巧：使用在线 LaTeX 公式编辑器，来生成 LaTeX 公式代码，然后复制到 LaTeX 编辑器（或 Markdown 编辑器）中，并在两边加上$$或$$$即可。
在线 LaTeX 公式编辑器网址：https://www.latexlive.com/
插入公式
左对齐公式（行中公式）： $数学公式$
居中公式（独立公式）： $$数学公式$$$ 注意：使用$ 行中公式时，数学公式与 $连接处不要有空格，否则公式不会显示；使用$$$$居中公式时，`数学公式`与$$$$连接处可以有空格。即$ 数学公式 $$ 不显示公式。
注释：%为单行注释。
细节请参照下文。

注意事项

使用 $`，即行中公式时，`数学公式`与`$ 连接处不要有空格，否则公式不会显示。即 $数学公式$ 不显示公式。
使用$$$$，即居中公式时，数学公式与$$$$连接处可以有空格。
使用$$$$时，上方要空一行。
=不要单独打一行，否则可能会出错。
+ - * / = ( ) | , . '等符号直接在$$或$$$之间输入即可识别。

插入公式

左对齐公式（行中公式）： $数学公式$
居中公式（独立公式）：$$$数学公式$$$

注意： 注意事项请参照目录章节中的注意事项子章节。

左对齐例子： $x+y=z$

$x + y = z$

居中对齐例子：$$$x+y=z$$$

$x + y = z$

注释

%为单行注释。

例子：

$$
%第一个极限
\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n(n+1)}
\quad %空一格
and %英文单词and
\quad %空一格
%第2个极限
\lim_{x\leftarrow{example} \infty} \frac{1}{n(n+1)}
$$

显示：

$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n(n+1)} \quad and \quad \lim_{x\leftarrow{example} \infty} \frac{1}{n(n+1)}$

编号

Markdown 编辑器

在公式末尾使用\tag{编号}来实现公式手动编号，大括号内的内容可以自定义。

例子：

$$
x+y=z
\tag{1}
$$

$x+y=z \tag{1}$

LaTeX 编辑器

包含自动编号和手动编号两种方式。
详情请参见我的另一篇博客LaTeX 详细教程中的公式编号章节。
此处简单介绍使用方法。

自动编号
使用\begin{equation}和\end{equation}进行公式输入，要同时使用，且编号不能够修改。

例子：

\begin{equation}
a^2+b^2=c^2
\end{equation}

显示：
在这里插入图片描述

手动编号
在公式末尾使用\tag{编号}来实现公式手动编号，大括号内的内容可以自定义。需要使用\usepackage{amsmath}宏包，不能写在$$或$$$中，会报错。

例子：

\begin{equation}
a^2+b^2=c^2
\tag{2}
\end{equation}

显示：
在这里插入图片描述

转义字符

在公式中输入_或^等符号时，会产生上下标功能，若想输入符号本身则需要转义字符\，写法为\+字符，示例如下：

例子：

$$
% \ 为转义字符
home\_name=honor
$$

显示：

$% \ 为转义字符 home\_name=honor$

换行与对齐

换行

使用\\进行换行，最后一行的\\可写可不写。

例子：

$$
f(x)=2x+1 \\
=2+1 \\
=3
$$

显示：

$f(x)=2x+1 \\ =2+1 \\ =3$

对齐

使用\begin{aligned}进行对齐，&表示对齐位置，一般都在=前面。

例子：

\begin{aligned}
f(x)&=2x+1 \\
&=2+1 \\
&=3
\end{aligned}

显示：

$\begin{aligned} f(x)&=2x+1 \\ &=2+1 \\ &=3 \end{aligned}$

字体

若要对公式的某一部分字符进行字体转换，可以用 \字体{需转换的字符} 命令，其中 \字体 部分可以参照下表选择合适的字体。一般情况下，公式默认为意大利体，直体为罗马体 \rm。一般里面一层大括号可省略。

注意：在 LaTeX 编辑器中，修改公式字体时，需要引入宏包\usepackage{amsmath}和\usepackage{amsfonts}，且在公式中输入。

例子：

$A+\mathbb{BC}+D$

显示：

$A+\mathbb{BC}+D$

空格

\quad：空一格
\qquad：空两格

例子：

$x \quad y \qquad z$

显示：

$x \quad y \qquad z$

上下标

^表示上标， _ 表示下标。如果上下标的内容多于一个字符，需要用 {}将这些内容括成一个整体。上下标可以嵌套，也可以同时使用。

例子：

$x^{y^z_w}=(1+{\rm e}^x)^{-2xy^w}$

显示：

$x^{y^z_w}=(1+{\rm e}^x)^{-2xy^w}$

上下标同时使用例子：

$f(x) = x_1^2 + {x}_{2}^{2}$

显示：

$f(x) = x_1^2 + {x}_{2}^{2}$

括号

()、[]、|表示符号本身，使用 \{\} 来表示 {}。当要显示大号的括号或分隔符时，要用 \left 和 \right 命令，如 $\left(表达式\right)$ ，大号的括号详见下一节）。

一些特殊的括号：

例子：

$f(x,y,z) = 3y^2z \left( 3+\frac{7x+5}{1+y^2} \right)$

显示：

$f(x,y,z) = 3y^2z \left( 3+\frac{7x+5}{1+y^2} \right)$

大括号

方法 1
使用 \left和 \right来创建自动匹配高度的括号，包含 (圆括号)、[方括号]、|绝对值|。

例子：

$$
f\left(
   \left[
     \frac{
       1+\left\{x,y\right\}
     }{
       \left(
          \frac{x}{y}+\frac{y}{x}
       \right)
       \left(u+1\right)
     }+a
   \right]^{3/2}
\right)
$$

显示：

$f\left( \left[ \frac{ 1+\left\{x,y\right\} }{ \left( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right) \left(u+1\right) }+a \right]^{3/2} \right)$

有时候要用\left.或\right.进行匹配而不显示本身。

例子：

$\left. \frac{ {\rm d}u}{ {\rm d}x} \right| _{x=0}$

显示：

$\left. \frac{ {\rm d}u}{ {\rm d}x} \right| _{x=0}$

方法 2
使用\big和\bigg来创建逐级变大的括号，包含 (圆括号)、[方括号]、|绝对值|。

例子：

$$\bigg( \big( ( ) \big) \bigg)$$
$$\bigg[ \big[ [ ] \big] \bigg]$$
$$\bigg| \big| | | \big| \bigg|$$

显示：

$\bigg( \big( ( ) \big) \bigg)\\ \bigg[ \big[ [ ] \big] \bigg]\\ \bigg| \big| | | \big| \bigg|$

分式

通常使用 \frac {分子} {分母} 命令产生一个分式，分式可嵌套。
便捷情况可直接输入 \frac ab来快速生成一个 a b \frac ab ba。
如果分式很复杂，亦可使用 分子 \over 分母 命令，此时分式仅有一层。

例子：

$\frac{a-1}{b-1} \quad and \quad {a+1\over b+1}$

显示：

$\frac{a-1}{b-1} \quad and \quad {a+1\over b+1}$

根式

\sqrt [根指数] {被开方数}

注意：缺省根指数时为 2

例子：

$\sqrt{2} \quad and \quad \sqrt[n]{x+y}$

显示：

$\sqrt{2} \quad and \quad \sqrt[n]{x+y}$

对数

\log_{对数底数}{表达式}

表达式的大括号可省略

显示：

$log_{x+y}(z+1)$

省略号

数学公式中常见的省略号有两种，\ldots 表示与文本底线对齐的横向省略号 … \ldots …，\cdots 表示与文本中线对齐的横向省略号 ⋯ \cdots ⋯，\vdots表示纵向省略号 ⋮ \vdots ⋮，\ddots表示斜向省略号 ⋱ \ddots ⋱。

例子：

$f(x_1,x_2,\underbrace{\ldots}_{\rm ldots} ,x_n) = x_1^2 + x_2^2 + \underbrace{\cdots}_{\rm cdots} + x_n^2$

显示：

$f(x_1,x_2,\underbrace{\ldots}_{\rm ldots} ,x_n) = x_1^2 + x_2^2 + \underbrace{\cdots}_{\rm cdots} + x_n^2$

最值

\max_{下标表达式}{最值表达式}表示最大值，\min_{下标表达式}{最值表达式}表达最小值。
例子：

$||x||_\infty=\max_{1\leq i\leq n}{|x_i|}$

显示：

$||x||_\infty=\max_{1\leq i\leq n}{|x_i|}$

方程组和分段函数

方程组

方程组有 2 种方式，分别是\begin{aligned}和\begin{cases}方式，&表示对齐位置，推荐使用\begin{cases}方式，使用方法如下：

\begin{aligned}方式：可以使方程组根据=对齐

$$
\left\{
\begin{aligned}
a+b&=2 \\
a-b&=4 \\
\end{aligned}
\right.
$$

显示：

$\left\{ \begin{aligned} a+b&=2 \\ a-b&=4 \\ \end{aligned} \right.$

\begin{cases}方式（推荐）：简便，但无法根据=对齐

$$
\begin{cases}
a+b=2 \\
a-b=4 \\
\end{cases}
$$

显示：

$\begin{cases} a+b=2 \\ a-b=4 \\ \end{cases}$

分段函数

分段函数可以通过\begin{cases}方式实现，不同的是方程式和条件之间要用&符号隔开。

例子：

$$
y =
\begin{cases}
\sin(x)       & x<0 \\
x^2 + 2x +4   & 0 \leq x < 1 \\
x^3           & x \geq 1 \\
\end{cases}
$$

显示：

$y = \begin{cases} \sin(x) & x<0 \\ x^2 + 2x +4 & 0 \leq x < 1 \\ x^3 & x \geq 1 \\ \end{cases}$

累加和累乘

使用 \sum_{下标表达式}^{上标表达式}{累加表达式}来输入一个累加。
与之类似，使用 \prod \bigcup \bigcap来分别输入累乘、并集和交集。
此类符号在行内显示时上下标表达式将会移至右上角和右下角。

例子：

$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \quad and \quad \prod_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \quad and \quad \bigcup_{i=1}^{2} R$

显示：

$\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \quad and \quad \prod_{i=1}^n \frac{1}{i^2} \quad and \quad \bigcup_{i=1}^{2} R$

矢量

使用 \vec{矢量}来自动产生一个矢量。
也可以使用 \overrightarrow等命令自定义字母上方的符号。

例子：

$\vec{a} \cdot \vec{b}=0\$

显示：

$\vec{a} \cdot \vec{b}=0\$

例子：

$\overleftarrow{xy} \quad and \quad \overleftrightarrow{xy} \quad and \quad \overrightarrow{xy}$

显示：

$\overleftarrow{xy} \quad and \quad \overleftrightarrow{xy} \quad and \quad \overrightarrow{xy}$

极限

\lim_{变量 \to 表达式} 表达式
如有需求，可以更改 \to 符号至任意符号。

例子：

$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n(n+1)} \quad and \quad \lim_{x\leftarrow{example} \infty} \frac{1}{n(n+1)}$

显示：

$\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n(n+1)} \quad and \quad \lim_{x\leftarrow{example} \infty} \frac{1}{n(n+1)}$

导数

${\rm d}x$$或$${\text d}x$$或$$\text{d}x$ ${\rm d}x或{\text d}x或\text{d}x$

偏导

$\frac{\partial y}{\partial x}$ $\frac{\partial y}{\partial x}$

梯度

$\nabla f(x)$ $\nabla f(x)$

积分

\int_积分下限^积分上限 {被积表达式}

例子：

$\int_0^1 {x^2} \,{\rm d}x$

显示：
∫ 0 1 x 2 d x \int_0^1 {x^2} \,{\rm d}x ∫01x2dx

矩阵

基础矩阵

使用\begin{matrix}…\end{matrix} 这样的形式来表示矩阵，在\begin 与\end 之间加入矩阵中的元素即可。矩阵的行之间使用\\ 分隔，\\表示换行，列之间使用& 分隔，&表示对齐位置。

例子：

$$
\begin{matrix}
1 & x & x^2 \\
1 & y & y^2 \\
1 & z & z^2 \\
\end{matrix}
$$

显示：

$\begin{matrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \\ \end{matrix}$

带括号的矩阵

使用\left 与\right 表示括号

如果要对矩阵加括号，可以像上文中提到的一样，使用\left 与\right 配合表示括号符号。

例子：

$$
\left[
\begin{matrix}
1 & x & x^2 \\
1 & y & y^2 \\
1 & z & z^2 \\
\end{matrix}
\right]
$$

显示：

$\left[ \begin{matrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \\ \end{matrix} \right]$

使用特殊的matrix

带括号的矩阵也可以使用特殊的matrix 。即替换\begin{matrix}…\end{matrix} 中matrix 为pmatrix ，bmatrix ，Bmatrix ，vmatrix , Vmatrix 。

pmatrix： $\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{pmatrix}$
bmatrix： $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{bmatrix}$
Bmatrix： $\begin{Bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{Bmatrix}$
$\begin{Bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{Bmatrix}$
vmatrix： $\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{vmatrix}$
$\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{vmatrix}$
Vmatrix： $\begin{Vmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{Vmatrix}$
$\begin{Vmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\\ \end{Vmatrix}$

行列式

方法已经在上一节带括号的矩阵中有所介绍，此处只写一个例子。

例子 1：使用\left 与\right 表示括号

$$
\left|
\begin{matrix}
1 & x & x^2 \\
1 & y & y^2 \\
1 & z & z^2 \\
\end{matrix}
\right|
$$

显示：

$\left| \begin{matrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \\ \end{matrix} \right|$

例子 2：使用特殊的matrix

$$
\begin{vmatrix}
1 & x & x^2 \\
1 & y & y^2 \\
1 & z & z^2 \\
\end{vmatrix}
$$

显示：

$\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \\ \end{vmatrix}$

元素省略的矩阵

可以使用\cdots ： ⋯ \cdots ⋯，\ddots： ⋱ \ddots ⋱ ，\vdots： ⋮ \vdots ⋮ ，来省略矩阵中的元素。

例子：

$$
\begin{pmatrix}
1&a_1&a_1^2&\cdots&a_1^n\\
1&a_2&a_2^2&\cdots&a_2^n\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
1&a_m&a_m^2&\cdots&a_m^n\\
\end{pmatrix}
$$

显示：

$\begin{pmatrix} 1&a_1&a_1^2&\cdots&a_1^n\\ 1&a_2&a_2^2&\cdots&a_2^n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&a_m&a_m^2&\cdots&a_m^n\\ \end{pmatrix}$

增广矩阵

增广矩阵需要使用前面的表格中使用到的\begin{array} ... \end{array} 来实现。

例子：

$$
\left[  \begin{array}  {c c | c} %这里的c表示数组中元素对其方式：c居中、r右对齐、l左对齐，竖线表示2、3列间插入竖线
1 & 2 & 3 \\
\hline %插入横线，如果去掉\hline就是增广矩阵
4 & 5 & 6
\end{array}  \right]
$$

显示：

$\left[ \begin{array} {c c | c} %这里的c表示数组中元素对其方式：c居中、r右对齐、l左对齐，竖线表示2、3列间插入竖线 1 & 2 & 3 \\ \hline %插入横线，如果去掉\hline就是增广矩阵 4 & 5 & 6 \end{array} \right]$

表格

使用\begin{array}{列样式}…\end{array} 这样的形式来创建表格，列样式可以是clr 表示居中，左，右对齐，还可以使用| 表示一条竖线。表格中各行使用\\ 分隔，各列使用& 分隔。使用\hline 在本行前加入一条直线。

例子：

$$
\begin{array}{c|lcr}
n & \text{Left} & \text{Center} & \text{Right} \\
\hline
1 & 0.24 & 1 & 125 \\
2 & -1 & 189 & -8 \\
3 & -20 & 2000 & 1+10i \\
\end{array}
$$

显示：

$\begin{array}{c|lcr} n & \text{Left} & \text{Center} & \text{Right} \\ \hline 1 & 0.24 & 1 & 125 \\ 2 & -1 & 189 & -8 \\ 3 & -20 & 2000 & 1+10i \\ \end{array}$